Es decir, un infinitésimo es una función cuyo límite es cero cuando la variable independiente x se aproxima hacia el valor x = a, o dicho de otra forma, una función cuyos valores se aproximan tanto más al cero cuanto más se aproxima x hacia el valor a.
Por tanto, en el concepto de infinitésimo hay que tener presente no sólo la función f, sino también el punto a. La función f es infinitésimo,en las proximidades del punto a. Suele decirse que es infinitésimo en x=a.
Para ciertos límites la regla de L'Hôpital no es aconsejable, pues la cantidad de veces en que ésta debe ser aplicada para llegar al resultado final se convierte en excesiva. Como ejemplo, el alumno puede tratar de hallar por L'Hôpital el límite:
límite que efectivamente puede ser hallado -pero tras un largo trabajo- mediante esta regla. Por el contrario, nuestro trabajo se simplifica notablemente si sustituimos en el denominador "sen x" por -lo que se llama infinitésimo equivalente-, "x". Entonces, el límite se reduce a:
A cuyo límite, transformado en más sencillo, podemos ahora aplicar la regla de L'Hôpital:
(aquí hemos utilizado la ralacion trigonometrica: sin(2x) = 2 sin x cos x ), llegamos al resultado final aplicando la regla de L'Hôpital otras tres veces más:
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