TEOREMAS RELATIVOS A INFINITESIMOS Y LIMITES.

TEOREMA

Dos infinitesimos son equivalentes <=> el orden de la diferencia es mayor que el orden de ambos.

H) f(x)_x->a --->0, g(x)_x->a--->0, f(x) equivalente g(x) cuando _x->a 
 T) orden (f(x) - g(x)) > orden f(x)
      orden (f(x) - g(x)) > orden g(x)

Demostración:

Directo:

                       1      1 pues f(x) equiv g(x)
                     --^--  --^--    x->a
    f(x) - g(x)       f(x)  g(x)
lim ---------- = lim  --- - --- = 0
x->a    f(x)     x->a f(x)  f(x)

=> (por ordenes de infinitesimos) orden (f(x)-g(x)) > orden (f(x))

Análogamente se prueba que orden (f(x)-g(x)) > orden (g(x)).

Recíproco

orden(f(x) - g(x)) > orden (f(x)) => (por ordenes de infinitesimos)

    f(x) - g(x)
lim ---------- = 0
x->a   f(x)
    
      1             (por def. infinitesimos equivalentes)  
    --^--                          |
     f(x)  g(x)           g(x)     | 
lim  --- - --- = 0 => lim ---- = 1 => f(x) equiv g(x) 
x->a f(x)  f(x)       x->a f(x)       x->a 

                                       TEOREMA

La suma de dos infinitesimos de distinto orden es equivalente al infinitesimo de menor orden.

H) f(x)x->a --->0, g(x)x->a--->0 orden (f(x)) < orden (g(x)
 

 T) f(x) +g(x) equivalente a f(x) cuando x-<a.






Demostración:
             1      0 pues orden (f(x)) < orden (g(x))
                     --^--  --^--    
    f(x) + g(x)       f(x)  g(x)
lim ---------- = lim  --- + --- = 1
x->a    f(x)     x->a f(x)  f(x)




GENERALIZACION:


La suma de n infinitesimos es equivalente al infinitesimo de menor orden.


EJEMPLO:  7x5 + 4x3 + 2x2 equiv 2x2 cuan do x->0





                                       TEOREMA








SUSTITUCION DE INFINITESIMOS EQUIVALENTES






H) limx->a α(x).f(x) = b (finito o infinito)
    α(x)x->a--> 0
    Existe β(x), β(x)x->a--> 0 / β(x)x->a equiv α(x)
T) limx-a β(x).f(x) = b






Demostración:
                pues lim α(x)/β(x) = 1
                                             |   x->a
                        α(x).β(x).f(x)  |         
lim α(x).f(x) = lim ---------------  = lim β(x).f(x) = b
x->a            x->a      β(x)         x->a








                                       TEOREMA




SUSTITUCION DE INFINITESIMOS EQUIVALENTES




H) limx->a f(x)/α(x) = b (finito o infinito)
    α(x)x->a--> 0
    Existe β(x), β(x)x->a--> 0 / β(x)x->a equiv α(x)
T) limx-a f(x)/β(x) = b




Demostración:
                        pues lim β(x)/α(x) = 1
                                    |  x->a
    f(x)             β(x).f(x)  |     f(x)        
   lim ---- = lim------------  = lim ---- = b
x->a α(x) x->a β(x).α(x)    x->a β(x)